Graficación 2D

La computación gráfica 2D es la generación de imágenes digitales por computadora - sobre todo de modelos bidimensionales (como modelos geométricos, texto y imágenes digitales 2D) y por técnicas específicas para ellos. La palabra puede referirse a la rama de las ciencias de la computación que comprende dichas técnicas, o a los propios modelos. 

La computación gráfica 2D se utiliza principalmente en aplicaciones que fueron desarrolladas originalmente sobre tecnologías de impresión y dibujo tradicionales, tales como tipografía, cartografía, dibujo técnico, publicidad, etc. En estas aplicaciones, la imagen bidimensional no es sólo una representación de un objeto del mundo real, sino un artefacto independiente con valor semántico añadido; los modelos bidimensionales son preferidos por lo tanto, porque dan un control más directo de la imagen que los gráficos 3D por computadora (cuyo enfoque es más semejante a la fotografía que a la tipografía). 

Los gráficos 2D por computadora se han iniciado en la década de 1950, basándose en dispositivos de gráficos vectoriales. Éstos fueron suplantados en gran parte por dispositivos basados en gráficos raster en las décadas siguientes. El lenguaje PostScript y el protocolo de sistema de ventanas X fueron piezas claves en la evolución histórica del campo. 

2.1 Trazo de lineas rectas

Linea:

Una línea es una sucesión continua de puntos (trazado), como por ejemplo un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, se denomina en cambio «raya» a trazos rectos sueltos, que no forman una figura o forma en particular.
En matemáticas y geometría, línea suele denotar línea recta o curva. Otro concepto de línea desde la teoría de Kandinsky es, la línea geométrica es un ente invisible. La línea es un punto en movimiento sobre el plano; al destruirse el reposo del punto este se mueve por el espacio dando origen a la línea.
La línea es el elemento más básico de todo grafismo y uno de los sumamente utilizados. Representa la forma de expresión más sencilla y pura, que a la vez puede ser dinámica y variada. Enrique Lipszyc expresa: la línea que define un contorno es una invención de los dibujantes, ya que en la naturaleza un objeto es distinguido de otro por su diferencia de color o de tono. 

DDA

El analizador diferenciador digital (DDA - Digital Differential Analyzer) es un algoritmo de conversión de rastreo que se basa en el cálculo ya sea de Dy o Dx por medio de las ecuaciones:

(4) Dy = m Dx

(5) Dx = Dy / m

Se efectúa un muestreo de la línea en intervalos unitarios en una coordenada y se determina los valores enteros correspondientes mas próximos a la trayectoria de la línea para la otra coordenada.

Tomemos una línea con pendiente positiva, si la pendiente | m | £ 1, se hace el muestreo en x en intervalos unitarios (Dx = 1 y Dy = m dado que m = Dy / Dx) y se calcula cada valor sucesivo de y como:

(6) yk+1 = yk+ m

El subíndice toma valores enteros a partir de 1 y aumenta a razón de 1 hasta alcanzar el valor final.

Ya que m puede ser cualquier numero real entre 0 y 1, los valores calculados de y deben redondearse al entero mas cercano. Para líneas con una pendiente | m | > 1, se revierten las funciones de x y y, o sea, se realiza un muestreo de y en intervalos unitarios (Dy = 1 y Dx = 1/m dado que m = Dy / Dx) y se calcula cada valor sucesivo de x como:

(7) xk+1 = xk+ 1/m

Las ecuaciones (6) y (7) se basan en la suposición de que las líneas deben procesarse del extremo izquierdo al derecho.

Si este procesamiento se revierte, entonces Dx o Dy serian -1, y   yk+1 = yk - m o xk+1 = xk - 1/m

Algoritmo de Bresenham para trazar líneas

Un algoritmo preciso y efectivo para la generación de líneas de rastreo, desarrollado por Bresenham (1965), convierte mediante rastreo las líneas utilizando solo cálculos incrementales con enteros que se pueden adaptar para desplegar también curvas.

El algoritmo busca cual de dos pixeles es el que esta mas cerca según la trayectoria de la línea.

Consideremos el proceso de conversión para líneas con pendiente positiva 0 < m < 1.

Las posiciones de pixel a lo largo de la trayectoria de una línea se determinan al efectuar un muestreo de x en intervalos unitarios.

Si se inicia desde el extremo izquierdo (x0,y0) de una línea determinada, se pasa a cada columna sucesiva y se traza el pixel cuyo valor de y se aproxima mas a la trayectoria de la línea de rastreo.

Si suponemos que se debe desplegar el pixel en (xk,yk), a continuación se necesita decidir que pixel se debe desplegar en la columna xk+1.

Las alternativas son los pixeles (xk+1,yk), y (xk+1,yk+1).

Al realizar el muestreo en la posición xk+1 designamos la separación de pixeles verticales de la trayectoria de la línea matemática como d1 y d2.

La coordenada de y en la línea matemática en la posición de la columna de pixel xk+1 se calcula como:

(10) y = m (xk + 1) + b

Entonces

d1 = y - yk = m (xk + 1) + b – yk                  y               d2 = (yk + 1) - y = yk + 1 - m (xk + 1) - b

La diferencia entre estas dos separaciones es

(11) d1 - d2 = 2 m (xk + 1) - 2 yk + 2 b - 1

Un parámetro de decisión pk para el paso k en el algoritmo de línea se puede obtener al reordenar la ecuación anterior, de modo que implique solo cálculos de enteros.

Esto se logra sustituyendo m = Dy / Dx donde Dx y Dy son las separaciones horizontal y vertical de las posiciones de los extremos de la línea y al definir:

(12) pk = Dx (d1 - d2) = Dx (2 Dy / Dx (xk + 1) - 2 yk + 2 b - 1)

= 2 Dy xk - 2 Dx yk + 2 Dy + 2 b Dx - Dx

= 2 Dy xk - 2 Dx yk + c

El signo de pk es el mismo que el de d1 - d2 puesto que Dx > 0 en el ejemplo.

El parámetro c es un constante, donde c = 2 Dy + 2 b Dx - Dx, que es independiente del pixel.

Si el pixel yk esta mas cerca de la trayectoria de la línea que el pixel yk + 1 (es decir d1 < d2), entonces el parámetro de decisión pk es negativo.

En ese caso, trazamos el pixel inferior; de otro mode, trazamos el pixel superior.

Los cambios de coordenadas a lo largo de la línea ocurren en pasos unitarios ya sea en la dirección de x o en la de y.

Por tanto, es posible obtener los valores de parámetros de decisión sucesivos al utilizar cálculos incrementales en enteros. En el paso k + 1, el parámetro de decisión se evalúa con base en la ecuación anterior como:

pk+1 = 2 Dy xk+1 - 2 Dx yk+1 + c

Al sustraer la ecuación (12) de la anterior obtenemos

pk+1 - pk = 2 Dy (xk+1 - xk) - 2 Dx( yk+1 - yk)

Pero xk+1 = xk + 1, de manera que

(13) pk+1 = pk + 2 Dy - 2 Dx( yk+1 - yk)

donde el termino yk+1 - yk es 0 o 1, dependiendo del signo del parámetro p. Este calculo recurso de los parámetros de decisión se realiza en cada posición entera de x, empezando en el extremo izquierdo de las coordenadas de la línea. El primer parámetro p0 se evalúa a partir de la ecuación (12) en la posición del pixel inicial (x0,y0), sustituyendo

con b = y0 - m x0 y m = Dy / Dx.

p0 = Dx (2 Dy / Dx(x0 + 1) - 2 y0 + 2 (y0 - (Dy / Dx) x0) - 1)

= 2 Dy x0 + 2 Dy - 2 Dx y0 + 2 Dx y0 - 2 Dy x0 - Dx

donde se obtiene la siguiente ecuación:

(14) p0 = 2 Dy - Dx

En resumen, los pasos son:

1. Se capturan los dos extremos de la línea y se almacena el extremo izquierdo en (x0,y0).

2. Se carga (x0,y0) en el bufer de estructura, o sea, se traza el primer punto.

3. Se calculan las constantes Dy, Dx, 2Dy, 2Dy-2Dx, y se obtiene el valor inicial para el parámetro de decisión como p0 = 2 Dy - Dx.

4. En cada xk a lo largo de la línea, que inicia en k = 0, se efectúa la prueba siguiente: si pk < 0, el siguiente punto que se debe trazar es (xk+1,yk) y pk +1 = pk + 2 Dy. De otro modo, el siguiente punto en trazarse es (xk+1,yk+1)

y pk +1 = pk + 2 Dy - 2Dx.

5. Se repite el paso 4 otras Dx veces.

2.2 Representacion y trazo de poligonos

OpenGL maneja polígonos correctamente siempre y cuando sean simples y convexos. Si ese no es el caso, OpenGL dibuja cosas raras.

Además en algunas ocasiones se quiere especificar el vector normal del plano en el cual se encuentra el polígono. Dicho vector normal se necesita p.e. para algoritmos de visualización avanzada (``Phong shading'').

Cuando se escriben aplicaciones gráficas nos enfrentamos con el problema siguiente: desde alguna fuente ``vienen'' listas de puntos (o bien de otro programa, o bien de un fichero, o bien de modo interactivo) y hay que interpretar las listas como polígonos, es decir, hay que verificar si las listas cumplen la definición de especificar polígonos simples y convexos. Si ese no es el caso, a lo mejor se pueden ``corregir'' las listas. (Programas con tal propiedades se llama robustos y tolerantes.)

Entonces (en el caso de mera visualización con OpenGL):

Se puede eliminar puntos múltiples consecutivos en la lista.

Se puede intentar calcular el plano en el cual se encuentran más o menos los puntos del polígono (eso no es tan trivial).

En dicho plano, es decir, una vez corregidos los puntos hasta que se encuentren exactamente en el plano, se puede verificar si el polígono es simple y convexo (eso es algo bastante fácil).

Si no es así, se podría subdividir el polígono en partes simples y convexos para seguir trabajando después con las partes sin problemas (este paso no lo vamos a realizar en estas prácticas).

Antes de dedicarnos a los detalles, dibujamos polígonos con OpenGL asumiendo que la lista de puntos cumple la definición.

Siempre que se quiera dibujar un objeto de OpenGL (en este caso unos polígonos, antes vimos puntos y segmentos), hay que decírselo de antemano con la función

glBegin()

La lista de puntos se define con consecutivas llamadas a

glVertex*()

y se termina el trabajo con

glEnd()

En lugar de dibujar polígonos rellenados, OpenGL puede dibujar, o bien solo las esquinas o bien solo los segmentos del borde. Eso se realiza con la función

glPolygonMode()

a la cual hay que pasar también cuál de las dos posibles caras del polígono se quiere pintar.

Además se pueden llenar los polígonos con patrones que no detallamos por el momento.

glEnable()

glPolygonStipple()

2.3 Tranformaciones bidimencionales

Traslación

Se aplica una traslación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra. Convertimos un punto bidimensional al agregar las distancias de traslación, tx y ty la posición de coordenadas original (x,y)

El par de distancia de traslación se llama vector de traslación o vector de cambio. Se pueden expresar las ecuaciones anteriores en una sola ecuación matricial al utilizar vectores de columna para representar las posiciones de coordenadas y el vector de traslación

Los polígonos se trasladan al sumar el vector de traslación a la posición decoordenadas de cada vértice y se vuelve a generar el polígono utilizando un nuevo conjuntode coordenadas y vértices y las especificaciones actuales de los atributos.

Rotación

Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una circunferencia en el plano de xy . Para generar una rotación, especificamos un ángulo de rotación θ y la posición (x r , y r ) del punto de rotación (o punto pivote) en torno al cual se gira el objeto.

Escalación

Una transformación de escalación altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y) de cada vértice por los factores de escalación s x y s  y para producir las coordenadas transformadas (x’, y’ ).

2.4 Representación matricial

• Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas:

– Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma

– Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado final

• Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones

• Cada transformación puede representarse como P’ = P M1 + M2

• La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala

• La matriz M2 contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de  rotación

• Para producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas  coordenadas en cada transformación! P’’ = P’ M3 + M4 = … = P M1 M3 + M2 M3 + M4

• Buscamos una solución más eficiente que permita combinar las transformaciones para  obtener directamente las coordenadas finales a partir de las iniciales.

2.5 Ventana y puerto de visión

Colocación de ventanas y recorte

Los programas de aplicaciones definen imágenes en un sistema de coordenadas mundiales. Este puede ser cualquier sistema de coordenadas Cartesianas que un usuario halle conveniente. Las imágenes definidas en coordenadas mundiales son procesadas por el sistema de graficas en coordenadas de dispositivo. Comúnmente, un paquete de graficas permite a un usuario especificar qué área de la definición de la imagen se desplegara y donde se colocara en el dispositivo de despliegue. Podría elegirse una sola área para el dispositivo de despliegue o bien podrían seleccionarse varias áreas. Estas áreas pueden colocarse en localidades aparte del despliegue o bien un área puede servir como una pequeña inserción en un área mayor. Este proceso de transformación implica operaciones para trasladar y escalar áreas seleccionadas y para borrar partes de la imagen que estén fuera de las áreas. Estas operaciones se conocen como colocación de ventanas y recorte.

Conceptos de colocación de ventanas

Un área rectangular que se especifica en coordenadas mundiales se denomina ventana. El área rectangular en el dispositivo de despliegue en el cual se coloca la ventana se llama puerta de visión. La figura 1 ilustra el trazo o planimetría de la selección de una imagen que queda dentro del área de ventana en una puerta de visión designada. Esta planimetría se llamatransformación de la visión o bien transformación de normalización.

Los límites de la ventana se especifican en coordenadas mundiales. Las coordenadas de dispositivo normalizadas se usan con mayor frecuencia para la especificación de la puerta visión, aunque las coordenadas del dispositivo pueden emplearse si hay solamente un dispositivo de salida en el sistemas. Cuando se usan coordenadas de dispositivo normalizadas, el programador considera el dispositivo de salida como aquel que tiene valores coordenados dentro del intervalo de 0 a 1.

Planimetría de una ventana en puerta de visión en coordenadas de dispositivo normalizadas.

Las posiciones de coordenadas que se expresan en coordenadas de dispositivo normalizadas deben convertirse a las coordenadas del dispositivo antes de que un dispositivo de salida específico haga el despliegue. Una rutina específica del dispositivo se incluye en paquetes de gráficas con este fin. La ventaja de emplear coordenadas de dispositivo normalizadas es que el paquete de gráficas es considerablemente independiente del dispositivo. Pueden utilizarse distintos dispositivos de salida ofreciendo los conductores adecuados del dispositivo.

Cambiando la posición de la puerta de visión, los objetos pueden desplegarse en diferentes posiciones en un dispositivo de salida. Asimismo, variando el tamaño de las puertas de visión, el tamaño y las proporciones de los objetos pueden alterarse. Cuando se trazan en forma sucesiva ventanas de diferentes tamaños en una puerta de visión, pueden lograrse efectos de acercamiento. Conforme las ventanas se hacen pequeñas, un usuario puede lograr el acercamiento de alguna parte de una escena para visualizar detalles que no se muestran con las ventanas mayores.

Analógicamente, puede obtener un panorama general más amplio realizando un acercamiento de una sección de escena con ventanas cada vez más mayores. Los efectos de toma panorámica se producen moviendo o desplazando una ventana de tamaño fijo a través de una imagen grande.

Un ejemplo del uso de comandos múltiples de colocación de ventanas y puertas de visión se da en el siguiente procedimiento. Se despliegan dos graficas en diferentes mitades de un dispositivo de despliegue.

Despliegue simultaneo de dos gráficas, utilizando especificaciones múltiples de colocación de ventanas y puertas de visión.

Otro método de establecer múltiples áreas para la colocación de ventanas y puertas de visión en un paquete de gráficas consiste en asignar un rotulo a cada especificación. Esto podría hacerse incluyendo un quinto parámetro en los comandos de ventana y puertas de visión para identificar cada área definida. El parámetro puede ser un índice entero (0, 1, 2,…) que numere la definición de la ventana o puerta de visión. Entonces se necesita un comando adicional para indicar un conjunto de proporciones de salida. Este esquema de enumeración podría utilizarse también para asociar una prioridad con cada puerta de visión de manera que la visibilidad de las puertas de visión superpuestas se decida sobre una base de prioridad. En la siguiente figura  se muestran puertas de visión desplegadas según su prioridad.

Despliegue de puertas de vision en orden de prioridad. A las puertas de vision con numeración inferior se les da mayor prioridad.

Para implantaciones que incluyen estaciones de trabajo múltiples, podría definirse un conjunto adicional de comandos de colocación de ventanas y puertas de visión. Estos comandos incluyen un número de estación de trabajo para establecer diferentes áreas de ventana y puertas de visión en diferentes estaciones de trabajo. Esto permitirá a un usuario desplegar varias partes de la imagen final en diferentes dispositivos de salida. Por ejemplo, un arquitecto podría desplegar la totalidad de un plano de una casa en un monitor y solamente el segundo piso en un segundo monitor.